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手把手教系列之IIR數字濾波器設計實現

發布日期： 2020-03-31 瀏覽次數： 1,874

　【導讀】：在嵌入式系統中經常需要采集模擬信號，采集模擬信號的信號鏈中難免引入干擾，那么如何濾除干擾呢？今天就來個一步一步描述如何設計部署一個IIR濾波器到你的系統。寫這篇文章考慮到很多粉絲是做單片機系統開發的，經常會需要采集模擬信號，系統中往往存在各種各樣的干擾，干擾常常讓人一籌莫展，所以花了一周時間整理出IIR濾波器設計部署的干貨文章，照此一步一步做，你必會解決大部分干擾問題。

　　編外語：文章寫作過程雖談不上嘔心瀝血，但也可算絞盡腦汁。在此也呼吁粉絲朋友積極參與互動，或點在看，或分享，或留言評論，當然如能買杯咖啡，那就更好啦！如果大家對此類話題感興趣，我會寫出系列信號處理文章以答謝各位的厚愛，如果大家對此類話題不感興趣，就不在花過多時間整理發布了。在此感謝各位關注厚愛！

　　何為IIR濾波器？

　　無限沖激響應（IIR：Infinite Impulse Response）是一種適用于許多線性時不變系統的屬性，這些系統的特征是具有一個沖激響應h（t），該沖激響應h（t）不會在特定點上完全變為零，而是無限期地持續。這與有限沖激響應（FIR：Finite Impulse Response）系統形成對比，在有限沖激響應（FIR）系統中，對于某個有限T，在時間t》 T時，沖激響應確實恰好變為零。線性時不變系統的常見示例是大多數電子和數字濾波器。具有此屬性的系統稱為IIR系統或IIR濾波器。對于什么叫沖激響應，這里就不展開解釋了，有興趣的可以查閱相關書籍。

　　這是常見的教科書式數學嚴謹定義，很多人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？

　　線性時不變系統理論俗稱LTI系統理論，源自應用數學，直接在核磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入信號的響應。雖然這些系統的軌跡通常會隨時間變化（例如聲學波形）來測量和跟蹤，但是應用到圖像處理和場論時，LTI系統在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統也被稱為線性非時變平移，在最一般的范圍理論給出此理論。在離散（即采樣）系統中對應的術語是線性非時變平移系統。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。比如一個運放系統在一定頻帶范圍內滿足信號的時域疊加，輸入一個100Hz和200Hz正弦信號，輸出頻率是這兩種信號的線性疊加。

　　用數學對LTI系統描述：

　　線性：輸入x1（t），產生響應 y1（t），而輸入x2（t），產生相應y2（t），那么放縮和加和輸入 ax1（t）+bx1（t），產生放縮、加和的響應ay1（t）+by1（t），其中a和b是標量，對于任意的有：

　　而對200Hz的正弦信號，假定其放大倍數為1.7倍。（做過運放電路設計的朋友應該有經驗，在其同頻帶其放大倍數往往并不平坦，也即幅頻響應在頻帶內不平坦，這是比較常見的）。也即輸入為：

　　那么如果輸入100Hz和200Hz的時域疊加信號，則其輸入為：

　　由這些圖可看出，輸入信號的形狀保持不變，輸出為對應輸入的線性時域疊加。對于時不變，就不用圖描述了，在一個真實電路中，如果輸入延遲一定時間，則響應對應延遲相同時間輸出。

　　上面這么多文字只是為了描述在什么場合可以使用IIR濾波器對信號進行數字濾波。總結而言，就是在線性時不變系統中適用。換言之，在大多數電路系統中我們都可以嘗試采用IIR濾波器進行數字濾波。

　　那么究竟什么是IIR濾波器呢？從數字信號處理的書籍中我們能看到這樣的Z變換信號流圖：

　　上述數字濾波器，如果從編程的角度來看，x（n-1），表示上一次的信號，可能是來自ADC的上次采樣，而y（n-1）則為上一次濾波器的輸出值，對應就比較好理解x（n-N）就表示前第n次輸入樣本信號，而y（n-M）則為前第M次濾波器的輸出。

　　說了這么多，只是為了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能使用正確。概念理解這對工程師而言，非常之重要。

　　如何設計呢？

　　MATLAB提供了非常容易使用的FDATool幫助我們設計數字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓我們拭目以待究竟如何一步一步設計并實施一個IIR濾波器。首先打開MATLAB，在命令行中敲fdatool，然后敲回車

　　在設計具體，有幾個相關概念需要澄清：Fs：采樣率，單位為Hz，真實部署在系統中，請務必確保樣本是按照恒定采樣率進行采樣，否則將得不到想要的效果。Fpass：通頻帶，單位為Hz，即系統中期望通過的最高頻率。Fstop：截至頻率，即幅頻響應的-3dB處的頻率，這個如不理解，請自行查閱相關書籍。分貝dB：這是一個無單位反應輸出與輸入倍數的一個術語。電學中分貝與放大倍數的轉換關系為：

　　A（V）（dB）=20lg（Vo/Vi）；電壓增益，Vo 為輸出電壓，Vi為輸入電壓

　　A（I）（dB）=20lg（Io/Ii）；電流增益，Io 為輸出電流，Ii為輸入電流

　　A（p）（dB）=10lg（Po/Pi）；功率增益，Po 為輸出功率，Pi為輸入功率

　　濾波器類型：這里有Butterworth（巴特沃斯）、Chebyshev Type I，Chebyshev Type II、（切比雪夫）、Elipic 等可選。

　　巴特沃斯 Butterworth，也被稱作最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有紋波。

　　切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。

　　橢圓 EllipTIc，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。

　　…這里就不一一介紹了，有興趣可以去查信號處理書籍。

　　就其特點，這里對其中幾種略作介紹：

　　巴特沃斯具有最平坦的通帶。

　　橢圓濾波器衰減最快，但是通帶、阻帶都有波紋。

　　切比雪夫濾波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區域可選擇。

　　假設我們需要設計一個IIR濾波器，采樣率為32000Hz，有用信號頻率在10000Hz內，設計IIR濾波器對信號進行數字濾波。這里為節省算力，我們指定濾波器的階數，也即傳遞函數中N/M中的最大值，一般而言N大于M。

　　這里指定階數為8階，類型指定為巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數8階，采樣率32000Hz，然后點擊Design Filter如下圖所示：

　　除此之外，我們還可以將幅頻與相頻曲線放在一個頻率坐標上去看設計結果：

　　導出濾波器參數，這里我們選擇，

　　然后就得到了一個文件，保存2KHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。

　　所謂直接II型，SOS（second order section）理解很簡單，本質是將IIR Z傳遞函數分解為上述二階塊的級聯形式。

　　部署測試濾波器

　　到這里，沒有經驗的朋友可能會說，這么一堆參數我該咋用呢？

　　需要自己去寫前面描述的計算公式嗎？當然你也可以這么做，這里就不寫了，ARM的CMSIS庫已經幫大家設計好了種類繁多的數字信號處理函數實現了，而且經過了測試，這里直接拿來用即可。有興趣自己寫也不難，只要理解Z傳遞函數概念內涵，非常容易實現。這里我們采用32位浮點實現函數：

　　arm_biquad_cascade_df1_f32。該函數位于：

　　CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c

　　CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c

　　我們來看一看這個函數：

　　arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：

　　開始測試：

（編者注：以上是上截圖不完整部分的補充：）

　const float iir_coeffs［5*IIR_SECTION］={

　　0.035416141341387819，2*0.035416141341387819，0.035416141341387819，1.7193929141691948，-0.8610574795347461， 0.031387100113383172，2*0.031387100113383172，0.031387100113383172，1.5237898734101736，-0.64933827386370635， 0.028873109331868367，2*0.028873109331868367，0.028873109331868367，1.4017399331200424，-0.51723237044751591， 0.027673522765052503，2*0.027673522765052503，0.027673522765052503，1.3435020629061745，-0.45419615396638446

　　};

　　static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;

　　/*假定采樣512個點*/

（補充完成，接上）

　　利用csv文件，將模擬數據存儲，直接用excel打開，將行數據生成曲線圖如下：

　　有興趣也可以寫個界面直接顯示，甚至繪制出譜線圖，做進一步分析。